Риичи
Быстрый счет

Быстрый счет
Тридцать простых приемов устного счета
Составил Я. И. Перельман
Ленинград, 1941

От составителя

В настоящее время в продаже нет руководств, содержащих наставления к быстрому выполнению счетных операций в уме. Мы сочли поэтому полезным собрать в краткой брошюре наиболее простые и легко усваиваемые приемы быстрого устного счета. Они рассчитаны на средние способности и имеют в виду не публичные выступления на эстраде, а потребности повседневной жизни. Пользующиеся книжечкой должны помнить, что успешное овладение ее указаниями предполагает не механическое, а вполне сознательное распоряжение приемами и, кроме того, более или менее продолжительную тренировку. Зато, усвоив рекомендуемые приемы, можно выполнять быстрые расчеты в уме с безошибочностью письменных вычислений.

Умножение на однозначное число

§ 1. Чтобы устно умножить число на однозначный множитель (например, 27 × 8), выполняют действие, начиная с умножения не единиц, как при письменном умножении, а иначе: умножают сначала десятки множимого (20 × 8 = 160), затем единицы (7 × 8 = 56) и оба результата складывают.

Еще примеры:
34 × 7 = 30 × 7 + 4 × 7 = 210 + 28 = 238
47 × 6 = 40 × 6 + 7 × 6 = 240 + 42 = 282

§ 2. Полезно знать на память таблицу умножения до 19 × 9:

23456789
112233445566778899
1224364860728496108
13263952657891104117
14284256708498112126
153045607590105120135
163248648096112128144
1734516885102119136153
1836547290108126144162
1938577695114133152171
Зная эту таблицу, можно умножение например, 147 × 8 выполнить в уме так:
147 × 8 = 140 × 8 + 7 × 8 = 1120 + 56 = 1176

§ 3. Когда одно из умножаемых чисел разлагается на однозначные множители, удобно бывает последовательно умножать на эти множители. Например:
225 × 6 = 225 × 2 × 3 = 450 × 3 = 1350

Умножение на двузначное число

§ 4. Умножение на двузначное число стараются облегчить для устного выполнения, приводя это действие к более привычному умножению на однозначное число.

Когда множимое однозначное, мысленно представляют множители и выполняют действие, как указано в § 1. Например:
6 × 28 = 28 × 6 = 120 + 48 = 168

§ 5. Если оба множителя двузначные, мысленно разбивают один из них на десятки и единицы. Например:
29 × 12 = 29 × 10 + 29 × 2 = 290 + 58 = 348
41 × 16 = 41 × 10 + 41 × 6 = 410 + 246 = 656
(или 41 × 16 = 16 × 41 = 16 × 40 + 16 = 640 + 16 = 656)
Разбивать на десятки и единицы выгоднее тот множитель, в котором они выражены меньшими числами.

§ 6. Если множимое или множитель легко разложить в уме на однозначные числа (напр., 14 = 2 × 7), то пользуются этим, чтобы уменьшить один из множителей, увеличив другой во столько же раз (ср. § 3). Например:
45 × 14 = 90 × 7 = 630

Умножение на 4 и на 8

§ 7. Чтобы устно умножить число на 4, его дважды удваивают. Например:
112 × 4 = 224 × 2 = 448
335 × 4 = 670 × 2 = 1340

§ 8. Чтобы устно умножить число на 8, его трижды удваивают. Например:
217 × 8 = 434 × 4 = 868 × 2 = 1736
(Еще удобнее: 217 × 8 = 200 × 8 + 17 × 8 = 1600 + 136 = 1736).

Деление на 4 и на 8

§ 9. Чтобы устно разделить число на 4, его дважды делят пополам. Например:
76 ÷ 4 = 38 ÷ 2 = 19
236 ÷ 4 = 118 ÷ 2 = 59

§ 10. Чтобы устно разделить число на 8, его трижды делят пополам. Например:
464 ÷ 8 = 232 ÷ 4 = 116 ÷ 2 = 58
516 ÷ 8 = 258 ÷ 4 = 129 ÷ 2 = 64½

Умножение на 5 и на 25

§ 11. Чтобы умножить число на 5, умножают его на (10 ÷ 2), т. е. приписывют к числу ноль и делят пополам. Например:
74 × 5 = 740 ÷ 2 = 370
243 × 5 = 2430 ÷ 2 = 1215

При умножении на 5 числа четного удобнее сначала делить пополам и к полученному приписать ноль. Например:
74 × 5 = (74 ÷ 2) × 10 = 370

§ 12. Чтобы устно умножить число на 25, умножают его на (100 ÷ 4), т. е. — если число кратно 4-х — делят на 4 и к частному приписывают два ноля. Например:
72 × 25 = (72 ÷ 4) × 100 = 1800

Если же число при делении на 4 дает остаток, то

При остаткеПриписывают к частному
125
250
375
Основание приема ясно из того, что 100 ÷ 4 = 25; 200 ÷ 4 = 50; 300 ÷ 4 = 75

Умножение на 1½, на 1¼, на 2½, на ¾

§ 13. Чтобы устно умножить число на 1½, прибавляют к множимому его половину. Например:
34 × 1½ = 34 + 17 = 51
23 × 1½ = 23 + 11½ = 34½ (или 34,5)

§ 14. Чтобы устно умножить число на 1¼, прибавляют к множимому его четверть. Например:
48 × 1¼ = 48 + 12 = 60
58 × 1¼ = 58 + 14½ = 72½ (или 72,5)

§ 15. Чтобы устно умножить число на 2½, к удвоенному числу прибавляют половину множимого. Например:
18 × 2½ = 36 + 9 = 45
39 × 2½ = 78 + 19½ = 97½ (или 97,5)

Другой способ состоит в умножении на 5 и делении пополам:
18 × 2½ = 90 ÷ 2 = 45

§ 16. Чтобы устно умножить число на ¾ (т. е. чтобы найти ¾ этого числа), умножают число на 1½ и делят пополам. Например:
30 × ¾ = (30 + 15) ÷ 2 = 22⅓ (или 22,5)

Видоизменение способа состоит в том, что от множимого отнимают его четверть или к половине множимого прибавляют половину этой половины.

Умножение на 15, на 125, на 75

§ 17. Умножение на 15 заменяют умножением на 10 и на 1½ (потому что 10 × 1½ = 15). Например:
18 × 15 = 18 × 1½ × 10 = 270
45 × 15 = 450 + 225 = 675

§ 18. Умножение на 125 заменяют умножением на 100 и на 1¼ (потому что 100 × 1¼ = 125). Например:
26 × 125 = 26 × 100 × 1¼ = 2600 + 650 = 3250
47 × 125 = 47 × 100 × 1¼ = 4700 + (4700 ÷ 4) = 4700 + 1175 = 5875

§ 19. Умножение на 75 заменяют умножением на 100 и на ⅗ (потому что 100 × ¾ = 75). Например:
18 × 75 = 18 × 100 × ¾ = 1800 × ¾ = (1800 + 900) ÷ 2 = 1350

Примечание. Некоторые из приведенных примеров удобно выполняются также приемом § 6:
18 × 15 = 90 × 3 = 270
26 × 125 = 130 × 25 = 3250

Умножение на 9 и на 11

§ 20. Чтобы устно умножить число на 9, приписывают к нему ноль и отнимают множимое. Например:
62 × 9 = 620 - 62 = 600 - 42 = 558
73 × 9 = 730 - 73 = 700 - 43 = 657

§ 21. Чтобы устно умножить число на 11, приписывают к нему ноль и прибавляют множимое. Например:
87 × 11 = 870 + 87 = 957

Деление на 5, на 1½, на 15

§ 22. Чтобы устно разделить число на 5, отделяют запятой в удвоенном числе последнюю цифру. Например:
68 ÷ 5 = 136 ÷ 10 = 13,6
237 ÷ 5 = 474 ÷ 10 = 47,4

§ 23. Чтобы устно разделить число на 1½, делят удвоенное число на 3. Например:
36 ÷ 1½ = 72 ÷ 3 = 24
53 ÷ 1½ = 106 ÷ 3 = 35⅓

§ 24. Чтобы устно разделить число на 15, делят удвоенное число на 30. Например:
240 ÷ 15 = 480 ÷ 30 = 48 ÷ 3 = 16
462 ÷ 14 = 924 ÷ 30 = 30 + (24 ÷ 30) = 30⅘ = 30,8
(или 924 ÷ 30 = 308 ÷ 10 = 30,8)

Возвышение в квадрат

§ 25. Чтобы возвысить в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5 (например 85), умножают число десятков (8) на него же плюс единица (8 × 9 = 72) и приписывают 25 (в нашем примере получается 7225). Еще примеры:
25²; 2 × 3 = 6; 625
45²; 4 × 5 = 20; 2025
145²; 14 × 15 = 210; 21025
Прием этот вытекает из формулы (10x + 5)² = 100x² + 100x + 25 = 100x (x + 1) + 25

§ 26. Сейчас указанный прием приложим и к десятичным дробям, оканчивающимися цифрой 5:
8,5² = 72,25 14,5² = 210,25 0,35² = 0,1225, и т. п.

§ 27. Так как 0,5 = ½, а 0,25 = ¼, то приемом § 25 можно пользоваться также и для возвышения в квадрат чисел, оканчивающихся дробью ½:
(8½)² = 72¼
(14½)² = 210¼ и т. п.

§ 28. При устном возвышении в квадрат часто удобно бывает пользоваться формулой (a + b)² = a² + b² + 2ab. Например:
41² = 40² + 1 + 2 × 40 = 1601 + 80 = 1681
69² = 70² + 1 - 2 × 70 = 4901 - 140 = 4701
36² = (35 + 1)² = 1225 + 1 + 2 × 35 = 1296
Прием удобен для чисел, оканчивающихся на 1, 4, 6 и 9.

Вычисления по формуле (a + b)(a - b) = a² - b²

§ 29. Пусть требуется выполнить умножение 52 × 48. Мысленно представим эти множители в виде (50 + 2) × (50 - 2) и применяем приведенную в заголовке формулу:
(50 + 2) × (50 - 2) = 50² - 2² = 2496

Подобным же образом поступают во всех вообще случаях, когда один множитель удобно представить в виде суммы двух чисел, другой — в виде разности тех же чисел: 69 × 71 = (70 - 1) × (70 + 1) = 4899
33 × 27 = (30 + 3) × (30 - 3) = 891
53 × 57 = (55 - 2) × (55 + 2) = 3021
84 × 86 = (85 - 1) × (85 + 1) = 7224

§ 30. Указанным сейчас приемом удобно пользоваться и для вычислений следующего рода:
7½ × 6½ = (7 + ½) × (7 - ½) = 48¾
11¾ × 12¼ = (12 - ¼) × (12 + ¼) = 143 + (15 ÷ 16)

Полезно запомнить

37 × 3 = 111

Запомнив это, легко выполнять устно умножение числа 37 на 6, 9, 12 и т. п.
37 × 6 = 37 × 3 × 2 = 222 37 × 9 = 37 × 3 × 3 = 333 37 × 12 = 37 × 3 × 4 = 444 37 × 15 = 37 × 3 × 5 = 555 и т. д.

7 × 11 × 13 = 1001

Запомнив это, легко выполнять устно умножения следующего рода:

77 × 13 = 1001
77 × 26 = 2002
77 × 39 = 3003
и т. д.
91 × 11 = 1001
91 × 22 = 2002
91 × 33 = 3003
и т. д.
143 × 7 = 1001
143 × 14 = 2002
143 × 21 = 3003
и т. д.


В нашей книжечке указаны только простейшие, наиболее удобоприменимые способы устного выполнения действий умножения, деления и возвышения в квадрат. Практикуясь в сознательном пользовании ими, вдумчивый читатель выработает для себя ряд еще и других приемов, облегчающих вычислительную работу.